BETREFF: MATLAB Conference 2016

Ein neuer didaktischer Ansatz in der Hochschulmathematik
[Angewandte Lehre mit Fourier- und Zeit-Frequenzanalyse]

Die nunmehr fast 200-jährige Geschichte der Fourier Analysis hat dazu geführt, dass trotz der gemeinsamen Quelle die Lehre der Fourier Analyse für Ingenieure bzw. für Mathematiker kaum mehr Gemeinsamkeiten aufweisen. Anwender bemühen die Intuition, verwenden aber oft einen Kalkül, der mathematisch nicht unproblematisch ist, manchmal mit dem Verweis, dass Mathematiker genau wüssten,
wie man die Details mit komplizierten Begriffen korrekt ausfüllen kann (obwohl diese ihrerseits oft nicht viel davon wissen, wie die Theorie in der Praxis angewendet wird).

In diesem Vortrag sollen Ansätze zu einem neuen Ansatz für die Lehre der Fourier Analysis dargelegt werden, die beiden Communities helfen soll, die jeweiligen Mängel zu beheben. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass die digitale Signalanalysis für periodische und diskrete Signale (bzw. entsprechender zyklischer Systeme) als Teil der Linearen Algebra leicht mit Hilfe von MATLAB realisiert und
experimentell erforscht werden können. Die Struktur der Gruppe der N-ten Einheitswurzeln in der komplexen Ebene, vom Standpunkt der Harmonischen Analyse aus entwickelt, erlaubt die Entwicklung der grundlegenden Konzepte (Faltung, Fourier Transformation, Impuls-Antwort, Transfer Funktion, Poisson Formel, Shannon Sampling Theorem, etc.).

Es muss auch erläutert werden, wie naive aber leider naheliegende Fehler vermieden werden können. Für die Praxis ist es auch weniger wichtig, zu kontinuierlichen, aperiodischen Funktionen überzugehen. Man studiert stattdessen das Spektrogramm (sliding window Fourier transform), etwas von Audio Signalen (oder auch von digitalen Bildern), und kann damit die Grundprinzipien der Zeit-Frequenz Analysis illustrieren. Für eine Funktion der Zeit (bzw. des Ortes)
hat man auf diese Weise eine intuitiv stark ansprechende Energie-Verteilung im Phasenraum, vergleichbar mit einer (verwaschenen) Notenschrift. Will man die dabei auftretende Redundanz reduzieren, so geht man zu einer gitterförmigen Abtastung des Spektrogramms über. Die entsprechende math. Theorie ist unter dem Namen Gabor Analysis bekannt. Sie liefert auch atomare Darstellungen von
Signalen, als Superposition von TF-verschobenen Versionen eines Atoms (etwa eine Gauss Glockenkurve), vergleichbar einem einfachen Synthesizer.

Durch das Studium der Gabor Analysis ergab sich die Entwicklung einer neuen Distributionentheorie, die auf einem Banachraum von stetigen, und Riemann-integrierbaren Funktionenraum S_0(R^d) beruht, der Fourier invariant ist. Wir werden nur andeuten können, in welcher Weise dieser Raum zusammen mit seinem Dualraum (wir nennen ihn den Raum der „sanften Distributionen") geeignet ist, die
wesentlichen Fragen der digitalen Signalanalysis mathematisch sauber und für Anwender verständlich zu entwickeln. Jedenfalls ist die Behandlung des Dirac Masses oder auch von Dirac Kämmen in dieser Theorie kein Problem. Im Vortrag werden wir uns hauptsächlich darauf konzentrieren, ein paar Konzepte anhand von MATLAB Routinen zu illustrieren, die in den letzten 25 Jahren in der NuHAG
(www.nuhag.eu), an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien entwickelt und eingesetzt wurden. Es wurde/wird dort seit Jahren für die Lehre, aber auch für Exploration und die Entwicklung von effizienten Algorithmen eingesetzt. Weiteres Material wird im Internet bereitgestellt.